Proyecto de matemáticas.

Tipos de ángulos.

 

 

 

Ángulo Recto:

Está formado por el cruce de dos rectas perpendiculares. Tiene 90° porque es la mitad de un ángulo llano.



 

Ángulo Agudo:

Tiene una abertura menor a la del ángulo recto. Mide menos de 90°.

Ángulo Obtuso:

Tiene una abertura mayor a la del ángulo recto mide más de 90° y menos de 180°.

 

 

Ángulo Llano:

Es aquel cuyos lados son semirrectas opuestas, tiene 180° porque es la mitad de un ángulo completo.

 

 

Ángulos Correspondientes:

Es la pareja de ángulos uno interno y otro externo, situados sobre el mismo lado de la transversal, pero en diferente paralela los ángulos correspondientes son iguales.

 

 

Ángulos colineales o adyacentes:

Es la pareja de ángulos que tienen el mismo vertice y lado común, los ángulos colineales son suplementarios.

 

 

 

 

Ángulos opuestos por el vertice:

Es la pareja de ángulos tales que los lados de uno son prolongaciones de los lados del otro, son iguales.

 

 

Ángulos alternos, internos:

Es la pareja de ángulos situados en diferentes lados de la transversal y dentro de las paralelas; pero sin ser adyacentes.

 

 

 

Ángulos alternos, externos:

Es la pareja de ángulos situados en diferente lado de transversal y fuera de las paralelas; pero sin ser adyacentes.

 

 

Ángulos colaterales, internos:

Pareja de ángulos situados en el mismo lado de la transversal y dentro de las paralelas. Los ángulos colaterales, internos son suplementarios.

 

 

 

Ángulos colaterales externos:

pareja de ángulos situados en el mismo lado de la transversal y fuera de las paralelas, son suplementarios.

 

 

 

 

 

Clasificación de Triángulos.

 

Triángulo equilátero:

Si sus tres lados tienen la misma longitud ( los tres ángulos internos miden 60°).

 

 

Triángulo isósceles:

Si tiene lados de la misma longitud de los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

 

 

Triángulo escaleno:

Si todos sus lados tienen longitudes diferentes en un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

 

Triángulo rectángulo:

Si tiene un ángulo interior recto (90°) a los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro hipotenusa.

 

 

Triángulo obtusángulo:

Si uno de sus ángulos es obtuso ( mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).

 

 

Triángulo acutángulo:

Cuando sus tres ángulos son menores a 90°.

 

 

 

Medición de ángulos.

 

Si la rotación del lado terminal es en sentido contrario al de las agujas del reloj, la medida del ángulo será pasiva en caso contrario la medida será negativa generalmente en la medición:

 

El sistema sexagesimal cuya unidad es el grado: °

El sistema radial cuya unidad es el radián: rad.

 

Radián: Es la medida del ángulo con vértice en el centro de un radio, cuyos lados determinan sobre la circunferencia un arco AB de longitud igual alradio.



 

Principio de ángulos entre paralelas.

Al cortar las dos rectas paralelas con una secante se forman ocho ángulos, los cuales se clasifican por parejas de acuerdo con la posición que tienen con la secante. De acuerdo a la ubicación de los mismos se clasifican en:

 

Ángulos interiores: Están ubicados en la zona comprendida entre las rectas paralelas.

 

Ángulos exteriores: Los ángulos que no son interiores se denominan ángulos exteriores. Entre ellos se encuentran los ángulos alternos entre paralelas, los correspondientes entre paralelas y los conjugados entre paralelas.

 

Alternos entre paralelas:

• Los que tienen vertices diferentes.
• Se encuentran a diferentes lados de la secante.
• Ambos son internos o ambos externos.
• Los ángulos alternos pueden ser alternos internos, o alternos externos.

TEOREMA: Si dos rectas pararlelas es cortada por una secante entonces los ángulos alternos son iguales.

RECIPROCO: Si dos ángulos alternos son iguales entonces las rectas que lo forman son paralelas.

 

Correspondientes entre paralelas:

• Los que tienen vértices diferentes.
• Se encuentran a un mismo lado de la secante.
• Uno interno y otro externo.

TEOREMA: Si dos rectas paralelas es cortada por una secante entonces se forman ángulos correspondientes iguales.

 

RECÍPROCO: Si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos correspondientes iguales, las rectas son paralelas.

 

Conjugados entre paralelas:

• Los que tienen vértices diferentes.
• Se encuentran a un mismo lado de la secante.
• Ambos son internos o ambos externos.

TEOREMA: Si dos rectas paralelas es cortada por una secante entonces se forman ángulos conjugados suplementarios.

 

RECÍPROCO: Si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos conjugados suplementarios.

 



 

 

 

 

Teorema de ángulos en el triángulo.

TEOREMA: Si por los vértices de un triángulo se trazan paralelas a los lados opuestos se obtiene otro triángulo tal que los puntos medios de sus lados son los vértices del lado.

 

TEOREMA: Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una paralela a otro lado esta pasará por el punto medio del tercer lado y el segmento que determinará será la mitad del lado paralela a ella.

 

TEOREMA RECÍPROCO: Si el degmento de pasa por los puntos medios de los ángulos de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a su mitad.

 

 

Demostraciones.

PRINCIPIOS: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

 

Ángulos opuestos al vértice:

PRINCIPIO 2: Los ángulos correspondientes en rectas paralelas son congruentes.

m<1 = m<5

<8= <4

PRINCIPIO 3: Los ángulos alternos internos en rectas paralelas son congruentes.

TEOREMA: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

TEOREMA: La suma el ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores opuestos a él.

Congruencia de triángulos.

Congruencia es por su superposición de dos o más figuras son congruentes si tienen la misma forma y la misma medida su símbolo es  .

 

Criterio 1:  Dos triángulos son congruentes, si tienen dos lados iguales y también es el ángulo comprendido entre ellos.

 



Criterio 2 ( A, L,A): Dos triángulos son congruentes, si tienen dos ángulos iguales y el lado adyacente a ambos.

Criterio 3 ( L, L, L): Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son iguales.

Sistema sexagesimal.

Un grado sexagesimal, es la medida del ángulo con vértice en el centro de un circulo, de amplitud igual a la 360 ava parte del mismo. Si el lado terminal realiza una rotación completa, en el sentido contrario de las agujas del reloj, el ángulo generado mide 360°.

• Un grado sexagesimal tiene 60 minutos = 1°= 60
• Un minuto sexagesimal tiene 60 segundos: 1= 60"

Teorema de Pitágoras.

• Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.
• En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostración:

Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha.
El área de este cuadrado será (b+c)².

 

 

 

Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2):